「Luogu P2831」 愤怒的小鸟

「Luogu P2831」 愤怒的小鸟

题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说,这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 \((0,0)\)处,每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟,小鸟们的飞行轨迹均为形如 \(y=ax^2+bx\)的曲线,其中 \(a,b\) 是Kiana 指定的参数,且必须满足 \(a < 0\) , \(a,b\) 都是实数。

当小鸟落回地面(即 x 轴)时,它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里,平面的第一象限中有 \(n\) 只绿色的小猪,其中第 \(i\) 只小猪所在的坐标为 \((x_i, y_i)\)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 \((x_i, y_i)\) ,那么第 \(i\) 只小猪就会被消灭掉,同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行;

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 \((x_i, y_i)\) ,那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 \(i\) 只小猪产生任何影响。

例如,若两只小猪分别位于 \((1, 3)\) 和 \((3, 3)\) ,Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 \(y=-x^2+4x\) 的小鸟,这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的,就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana来说都很难,所以Kiana还输入了一些神秘的指令,使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有 \(T\) 个关卡,现在 Kiana想知道,对于每一个关卡,至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算,所以希望由你告诉她。

输入输出格式

输入格式

第一行包含一个正整数\(T\) ,表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这 \(T\) 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 \(n, m\) ,分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 \(n\) 行中,第 \(i\) 行包含两个正实数 \(x_i, y_i\) ,表示第 \(i\) 只小猪坐标为\((x_i, y_i)\)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果 \(m\) ,表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。

如果 \(m=1\) ,则这个关卡将会满足:至多用\(\lceil n/3 + 1 \rceil\) 只小鸟即可消灭所有小猪。

如果 \(m=2\) ,则这个关卡将会满足:一定存在一种最优解,其中有一只小鸟消灭了至少 \(\lfloor n/3 \rfloor\) 只小猪。

保证 \(1\leq n \leq 18\) , \(0\leq m \leq 2\) , \(0 < x_i,y_i < 10\) ,输入中的实数均保留到小数点后两位。

上文中,符号 \(\lceil c \rceil\) 和 \(\lfloor c \rfloor\)分别表示对 \(c\) 向上取整和向下取整,例如: \(\lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3\) 。

输出格式

对每个关卡依次输出一行答案。

输出的每一行包含一个正整数,表示相应的关卡中,消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。

输入输出样例

输入样例#1

2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00

输出样例#1

1
1

输入样例#2

3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00

输出样例#2

2
2
3

输入样例#3

1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99

输出样例#3

6

说明

【样例解释1】

这组数据中一共有两个关卡。

第一个关卡与【问题描述】中的情形相同, \(2\) 只小猪分别位于 \((1.00,3.00)\)和 \((3.00,3.00)\) ,只需发射一只飞行轨迹为 \(y = -x^2 + 4x\) 的小鸟即可消灭它们。

第二个关卡中有 \(5\) 只小猪,但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线\(y = -x^2 + 6x\)上,故 Kiana 只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。

【数据范围】

img

思路

\(a=\frac{y_2/x_2-y_1/x_1}{x_2-x_1}\)

\(b=y_1/x_1-a\cdot x_1\)

用一个数组\(s\)储存所有可以一条线打下来的猪的01串,\(f[i]\)表示状态达到\(i\)最小的射击次数,\(f[i|s[i]]=min(f[i|s[i]], f[i]+1)\)

直接枚举子集会T3个点

 

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

int n, m, f[1<<18], s[1010];
double x[19], y[19];

inline void init(){
    memset(f, 0x3f3f3f3f, sizeof(f));
    memset(s, 0, sizeof(s));
	scanf("%d%d", &n, &m);
    for(register int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%lf%lf", &x[i], &y[i]);
}

int main(){
    int T;
	scanf("%d", &T);
    while(T--){
        init();
        for(register int i=1; i<=n; i++){
            s[++s[0]]=1<<(i-1);
            for(register int j=i+1; j<=n; j++){
                double a = (y[j]/x[j]-y[i]/x[i]) / (x[j]-x[i]);
                double b = y[j]/x[j]-a*x[j];
                if(a>=0 || abs(x[i]-x[j])<=0.000001)	continue;
                int S=((1<<(i-1))|(1<<(j-1)));
                for(register int k=j+1; k<=n; k++)
                    if(abs(a*x[k]*x[k]+b*x[k]-y[k])<=0.000001)
                        S|=(1<<(k-1));
                s[++s[0]]=S;
            }
        }
    
        f[0]=0;
        for(register int i=0; i<(1<<n); i++){
            for(register int j=1; j<=s[0]; j++){
                f[i|s[j]]=min(f[i|s[j]], f[i]+1);
        	}
        }
        cout<<f[(1<<n)-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

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