「Luogu P2375 」[NOI2014]动物园

「Luogu P2375 」[NOI2014]动物园

题目描述

近日,园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅,只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气,让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的,园长决定开设算法班,让动物们学习算法。

某天,园长给动物们讲解KMP算法。

园长:“对于一个字符串 \(S\) ,它的长度为 \(L\) 。我们可以在 \(O(L)\) 的时间内,求出一个名为\(next\)的数组。有谁预习了\(next\)数组的含义吗?”

熊猫:“对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作 \(next[i]\)$ 。”

园长:“非常好!那你能举个例子吗?”

熊猫:“例 \(S\) 为abcababc,则 \(next[5]=2\) 。因为 \(S\) 的前 \(5\) 个字符为abcabab既是它的后缀又是它的前缀,并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理,还可得出 \(next[1] = next[2] = next[3] = 0\), \(next[4] = next[6] = 1\) , \(next[7] = 2\) , \(next[8] = 3\) 。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后,他详细讲解了如何在 \(O(L)\) 的时间内求出\(next\)数组。

下课前,园长提出了一个问题:“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀不重叠,将这种字符串的数量记作 \(num[i]\) 。例如 \(S\) 为aaaaa,则 \(num[4] = 2\) 。这是因为 \(S\) 的前 \(4\) 个字符为aaaa,其中aaa都满足性质‘既是后缀又是前缀’,同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’,但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了,所以不能计算在内。同理, \(num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2\) 。”

最后,园长给出了奖励条件,第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话,睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了!但企鹅并不会做这道题,于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出 \(num\) 数组呢?

特别地,为了避免大量的输出,你不需要输出 \(num[i]\) 分别是多少,你只需要输出所有( \(num[i]+1\) )的乘积,对 \(1,000,000,007\) 取模的结果即可。

输入输出格式

输入格式:

第 \(1\) 行仅包含一个正整数 \(n\) ,表示测试数据的组数。
随后 \(n\) 行,每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 \(S\) , \(S\) 的定义详见题目描述。数据保证 \(S\) 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行,行末不会存在多余的空格。

输出格式:

包含 \(n\) 行,每行描述一组测试数据的答案,答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据,仅需要输出一个整数,表示这组测试数据的答案对 \(1,000,000,007\) 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

输入输出样例

输入样例#1:

3
aaaaa
ab
abcababc

输出样例#1:

36
1
32 

说明

测试点编号 约定
1 \(N ≤ 5, L ≤ 50\)
2 \(N ≤ 5, L ≤ 200\)
3 \(N ≤ 5, L ≤ 200\)
4 \(N ≤ 5, L ≤ 10,000\)
5 \(N ≤ 5, L ≤ 10,000\)
6 \(N ≤ 5, L ≤ 100,000\)
7 \(N ≤ 5, L ≤ 200,000\)
8 \(N ≤ 5, L ≤ 500,000\)
9 \(N ≤ 5, L ≤ 1,000,000\)
10 \(N ≤ 5, L ≤ 1,000,000\)

思路

首先我知道这是一道KMP题,所以就从KMP的角度考虑了

我首先打了一个KMP板子,然后瞪了半天\(nxt\)的定义

“对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串,既是它的后缀又是它的前缀的字符串中(它本身除外),最长的长度记作 \(next[i]\) 。”

由此我想到我们可以稍稍修改一下num数组的定义,修改为

对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串,既是它的后缀同时又是它的前缀,并且该后缀与该前缀可以重叠,将这种字符串的数量记作 \(num[i]\) 。

这样就很好求了,可以一边求\(nxt\)一边求,式子为\[num[i]=num[nxt[i]]+1\]

从这个求法又可以看出来题目中定义的\(num\)要怎么求

如果这个\(num\)的个数满足要求(\(num_i\times 2\leq i\)),直接输出,否则采用KMP匹配的方法往前跳着找,直到找到第一个满足要求的\(num\)值

最后奶一口今年NOIP D1T3来个字符串什么的(醒醒

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MOD 1000000007

int n, ls, nxt[1000010], num[1000010];
char s[1000010];

int main(){
    scanf("%d", &n);
    while(n--){
        memset(num, 0, sizeof(num));
        memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
        scanf("%s", s+1);
        ls=strlen(s+1);
        num[1]=1;
        int j=0;
        long long ans=1;
        for(int i=2; i<=ls; i++){
            while(j && s[j+1]!=s[i])    j=nxt[j];
            if(s[j+1]==s[i])    nxt[i]=j+1, j++;
            num[i]=num[j]+1;
        }
        j=0;
        for(int i=2; i<=ls; i++){
            while(j && s[j+1]!=s[i])    j=nxt[j];
            if(s[j+1]==s[i])    j++;
            while((j<<1)>i && j)    j=nxt[j];
            ans=ans*(num[j]+1)%MOD;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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